摘要:現(xiàn)有電磁流量計(jì)干標(biāo)定模型中，電極尺寸、位置均被作了理想化處理，即假設(shè)電極尺寸無窮小、電極位于測(cè)量管段正中間的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)上，兩對(duì)稱點(diǎn)連線與磁場(chǎng)垂直。這類理想化的模型與實(shí)際情況差異較大，限制了干標(biāo)定的精度，并對(duì)產(chǎn)品-致性提出了要求。針對(duì)這一一問題，采用分離變量法建立了包含實(shí)際流量計(jì)電極尺寸及位置參數(shù)的電磁流量計(jì)干標(biāo)定模型，比現(xiàn)有干標(biāo)定模型更接近于實(shí)際流量計(jì)，有利于提高干標(biāo)定精度，降低對(duì)產(chǎn)品一致性的要求。通過與現(xiàn)有模型及數(shù)值仿真的對(duì)比分析，驗(yàn)證了該模型的正確率。
0前言
　　電磁流量計(jì)作為一種液體流量計(jì)量?jī)x表，計(jì)量精度已達(dá)到±0.5%以上，口徑范圍由3mm到4000],其中直徑1m以上的大口徑電磁流量計(jì)產(chǎn)品在水利工程、市政建設(shè)和環(huán)境保護(hù)等領(lǐng)域中具有非常廣泛的應(yīng)用。目前，電磁流量計(jì)的標(biāo)定方法包括實(shí)流標(biāo)定及干標(biāo)定兩種。實(shí)流標(biāo)定的精度一般為±0.2%以上，被絕大多數(shù)電磁流量計(jì)廠家采用。但實(shí)流標(biāo)定存在兩個(gè)缺陷:①大口徑流量計(jì)實(shí)流標(biāo)定裝置制造價(jià)格昂貴，標(biāo)定成本高。如:實(shí)流標(biāo)定1.2m口徑的儀表,需要250kW的水泵連續(xù)提供約1.5t/s的流量，標(biāo)定時(shí)間約2~4h，標(biāo)定裝.置造價(jià)約300萬英鎊;②實(shí)流標(biāo)定裝置所產(chǎn)生的流場(chǎng)通常為理想流場(chǎng)，很難利用現(xiàn)有的實(shí)流標(biāo)定裝置對(duì)多相流、漿液、粘性介質(zhì)等非常規(guī)介質(zhì)進(jìn)行標(biāo)定，在這類實(shí)流標(biāo)定裝置上進(jìn)行模擬各種現(xiàn)場(chǎng)工況的流體運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)特性研究也十分困難。相比之下，電磁流量計(jì)干標(biāo)定技術(shù)作為一種無需實(shí)際流體便可實(shí)現(xiàn)流量計(jì)標(biāo)定的技術(shù)，在降低標(biāo)定成本、裝置制造成本，以及模擬各種實(shí)際流場(chǎng)、介質(zhì)等方面，具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。
　　電磁流量計(jì)干標(biāo)定方法的核心是數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型的完善與否決定了干標(biāo)定的精度、對(duì)產(chǎn)品一致性要求等特性。最完善的干標(biāo)定模型應(yīng)包含實(shí)際流量計(jì)的所有有用信息，以便更好地體現(xiàn)每臺(tái)流量計(jì)的個(gè)體差異，使模型更加接近于實(shí)際流量計(jì)。現(xiàn)有干標(biāo)定模型主要采用物理學(xué)家為分析、改進(jìn)電磁流量計(jì)性能所建立的理想數(shù)學(xué)模型稱之為理想數(shù)學(xué)模型是因?yàn)樵谀承﹨��?shù)上，模型不考慮實(shí)際流量計(jì)的數(shù)值及個(gè)體差異，進(jìn)行了理想化處理。這些模型在相應(yīng)的理想情況下具有足夠的精度，理想化處理又降低了模型推導(dǎo)的數(shù)學(xué)難度，因此，在分析、改進(jìn)電磁流量計(jì)性能方面被認(rèn)為是非常成功的。但就干標(biāo)定模型應(yīng)盡可能地包含實(shí)際流量計(jì)所有有用信息的要求而言，這些理想模型用于千標(biāo)定尚不夠完善，被理想化處理的參數(shù)成為了干標(biāo)定模型的誤差源，導(dǎo)致了現(xiàn)有干標(biāo)定技術(shù)與實(shí)流標(biāo)定技術(shù)相比精度較低(普遍低于±0.5%，與標(biāo)定0.5級(jí)電磁流量計(jì)所需的±0.2%仍有-定差距)、對(duì)產(chǎn)品一致性的要求較高，限制了干標(biāo)定技術(shù)更好的工業(yè)化應(yīng)用。因此，建立更接近實(shí)際.流量計(jì),即包含更多實(shí)際流量計(jì)信息的干標(biāo)定模型，是改進(jìn)電磁流量計(jì)干標(biāo)定技術(shù)的重要任務(wù)。
　　電極尺寸與位置便是現(xiàn)有電磁流量計(jì)干標(biāo)定模型中被理想化處理的因素之--,現(xiàn)有模型中往往存在如下理想化處理:兩電極的面積都為零,即理想的數(shù)學(xué)點(diǎn);電極所在位置為測(cè)量管段正中間的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，其連線與磁場(chǎng)嚴(yán)格垂直。但實(shí)際流量計(jì)中，電極并非理想的數(shù)學(xué)點(diǎn),也無法正確地安裝在管段正中間的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)上,這使其成為了電磁流量計(jì)干標(biāo)定模型與實(shí)際流量計(jì)的差異之一。
　　針對(duì)此問題，本文采用分離變量法建立了包含實(shí)際流量計(jì)電極尺寸及位置參數(shù)的電磁流量計(jì)干標(biāo)定模型，比現(xiàn)有干標(biāo)定模型更接近于實(shí)際流量計(jì)，有利于提高干標(biāo)定精度、降低對(duì)產(chǎn)品一致性的要求，并進(jìn)一步驗(yàn)證了模型的正確率。
電磁流量計(jì)干標(biāo)定方法
1.1電磁流量計(jì)測(cè)量原理
　　電磁流量計(jì)測(cè)量原理如圖1所示，管道內(nèi)流動(dòng)的導(dǎo)電液體切割磁力線，將在兩端電極A、B間產(chǎn)生電勢(shì)差UAB,UAB與磁通量密度B、液體流速v符合弗來明右手定則，從而通過測(cè)量UAB的大小可確定管道內(nèi)介質(zhì)流量。
 
　　當(dāng)不考慮位移電流時(shí)，可從麥克斯韋爾方程組推導(dǎo)出電磁流量計(jì)的基本微分方程如下。
 
　　式中，U是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，v為被測(cè)流體速度，B為.測(cè)量空間內(nèi)磁通密度，V2為拉普拉斯算子，▽為哈密爾頓算子。
1.2干標(biāo)定基本數(shù)學(xué)模型
　　電磁流量計(jì)干標(biāo)定模型需是可計(jì)算的數(shù)學(xué)表達(dá)式，因此需將微分方程式(1)轉(zhuǎn)變成積分式。
　　由于測(cè)量管道內(nèi)壁除電極外都為絕緣體，即邊界上沒有法向電流(jn=0),且測(cè)量?jī)蓚�(gè)電極的電位差時(shí)，電極處不能有電流，因此，有邊界條件
 
式中
τ一電磁流量計(jì)測(cè)量空間
W一權(quán)重函數(shù)，W=▽G
　　式(5)便是用于電磁流量計(jì)干標(biāo)定的基本數(shù)學(xué)模型，其中權(quán)重函數(shù)W的物理含義為:電磁流量計(jì)有效測(cè)量空間內(nèi)任意微小流體微元切割磁力線所產(chǎn)生的感
　　應(yīng)電勢(shì)對(duì)兩電極間的電勢(shì)差所起的作用大小�？梢�，若能分別得知vB、W隨空間坐標(biāo)的表達(dá)式及測(cè)量空間τ，可通過式(5)計(jì)算出電極間輸出電勢(shì)差UAB,這便是電磁流量計(jì)干標(biāo)定的基本原理。
　　v隨空間坐標(biāo)的表達(dá)式可通過流場(chǎng)分析得到,也可通過不同表達(dá)式實(shí)現(xiàn)不同流場(chǎng)、介質(zhì)的模擬，B隨空間坐標(biāo)的表達(dá)式則可通過特殊的磁場(chǎng)測(cè)量方法得到，測(cè)量空間τ可通過測(cè)量管段的結(jié)構(gòu)尺寸得知，而W隨空間坐標(biāo)的表達(dá)式，則需通過W=▽G計(jì)算得到。G滿足拉普拉斯方程式(3)，其邊界條件式(4)包含的信息為:管段尺寸、電極尺寸及電極位置。因此，電極尺寸、電極位置為求解權(quán)重函數(shù)W的數(shù)學(xué)表達(dá)式所必需的信息。若簡(jiǎn)單地將電極尺寸及位置做理想化處理，而忽略實(shí)際流量計(jì)中電極存在尺寸往往無法被準(zhǔn)確地安裝到管段正中間兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)上的事實(shí),將不利于獲取高精度的電磁流量計(jì)干標(biāo)定模型。
2包含實(shí)際電極尺寸及位置參數(shù)的干標(biāo)定模型
　　上述分析說明，有必要在建模過程中考慮實(shí)際流量計(jì)的電極尺寸及位置。因此，將半徑為r、長(zhǎng)度為2L的電磁流量計(jì)一次傳感器按如下方式建模:ρ、θ向尺寸及位置如圖2a所示，電極A所覆蓋范圍為(ρ=r,γA-△ϒA≤θ≤γA+△γA)，電極B所覆蓋范圍為(ρ=r,γB-△γB≤θ≤γB+△γB)，其中γA、△γB為表示電極θ向位置的變量，△γA、△γB為表示電極θ向尺寸的變量，若按照理想點(diǎn)電極處理，則△γ=π/2，γB=-π/2,△γA=△γB=0;z向尺寸及位置如圖2b所示，電極A所覆蓋范圍為(ZA-△ZA≤Z≤ZA+△ZA)，電極B所覆蓋范圍為(ZB-△ZB≤z≤ZB+△ZB)，其中ZA、ZB為表示電極z向位置的變量，△zA小、△zB為表示電極z向尺寸的變量,若按照理想點(diǎn)電極處理,則zA=zB=0,△ZA=△ZB=0。
　　從以上分析可知，要得到干標(biāo)定模型，便需得到權(quán)重函數(shù)W的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即先在柱坐標(biāo)系(ρ,θ，z)下求解式(3)。
　　求解式(3)的邊界條件式(4)可化為
 
 
 
 
3模型正確率的驗(yàn)證
　　干標(biāo)定模型中，新建立的模型與以往模型相比，差別只在于權(quán)重函數(shù)w表達(dá)式的不同，因此只需對(duì)權(quán)重函數(shù)W或W的上級(jí)函數(shù)Green函數(shù)G的表達(dá)式進(jìn)行驗(yàn)證，便可完成對(duì)干標(biāo)定模型正確率的驗(yàn)證。最理想的模型驗(yàn)證方式是直接測(cè)量出電磁流量計(jì)測(cè)量空間內(nèi)各點(diǎn)的權(quán)重函數(shù)值，與模型計(jì)算所得值計(jì)進(jìn)行比較，但目前尚未有成熟的權(quán)重函數(shù)測(cè)量方法。若直接將模型運(yùn)用到干標(biāo)定系統(tǒng)中，與實(shí)流標(biāo)定進(jìn)行試驗(yàn)對(duì)比，則由于電磁流量計(jì)干標(biāo)定模型中還包括磁場(chǎng)信息，會(huì)將磁場(chǎng)測(cè)量與計(jì)算誤差引入其中,導(dǎo)致無法對(duì)模型的正確率做出客觀的評(píng)價(jià)。因此，采用以下驗(yàn)證方式:將現(xiàn)有典型理想模型的電極參數(shù)代入所建立的干標(biāo)定模型，與相應(yīng)的理想模型進(jìn)行比較，驗(yàn)證所建干標(biāo)定模型在理想?yún)��?shù)下的正確率;利用數(shù)值仿真，計(jì)算考慮實(shí)際電極尺寸與位置時(shí)測(cè)量空間內(nèi)若干點(diǎn)的權(quán)重函數(shù)數(shù)值，與干標(biāo)定模型計(jì)算所得數(shù)值進(jìn)行對(duì)比。
3.1與理想模型比較
　　選用SHERCLIFF國(guó)的線形電極模型及文獻(xiàn)[1]中的點(diǎn)電極模型進(jìn)行比較，如上所述，只需就權(quán)重函數(shù)W或W的上級(jí)函數(shù)Green函數(shù)G的表達(dá)式進(jìn)行比較即可。
　　SHERCLIFF所建立的線形電極模型基于理想的線形電極電磁流量計(jì)，且假設(shè)磁場(chǎng)B的方向與y軸平行，即Bx=Bs=0,流速v的方向與:軸平行，即vx=vy=0。
　　將以上式子代入本文所建立的干標(biāo)定模型，可得
 
　　此結(jié)果與SHERCLIFF所得到的W表達(dá)式一致，即在線形電極情況下，模型一致。
　　建立的點(diǎn)電極模型基于理想的點(diǎn)電極流量計(jì)，電極尺寸及位置參數(shù)如下:△γA→0、△γB→0、△ZA→0、△ZB→0、γA=π/2、γB=-π/2、ZA=0、ZB=0。
　　將以上參數(shù)代入式(18)，Dm及Fmn有關(guān)項(xiàng)都將為零，代入Cm表達(dá)式(21)及Emn的表達(dá)式(24)，并進(jìn)一步化簡(jiǎn)后，可得Green函數(shù)G的表達(dá)式為
 
　　此結(jié)果與文獻(xiàn)凹得到的Green函數(shù)表達(dá)式相同，即在點(diǎn)電極情況下，模型--致。需說明的是，王竹溪的模型中正x軸對(duì)應(yīng)θ=0，而非圖2所示的正y軸對(duì)應(yīng)θ=0,式(32)已是將所建立的模型坐標(biāo)調(diào)整至與模型坐標(biāo)相同后的結(jié)果。
3.2與數(shù)值計(jì)算比較
　　在電磁流量計(jì)電極兩端加上電壓信號(hào)，測(cè)量空間內(nèi)所形成的電場(chǎng)與權(quán)重函數(shù)具有相同的分布特性，因此可采用電場(chǎng)數(shù)值仿真的方式對(duì)權(quán)重函數(shù)模型進(jìn)行驗(yàn)證。通過理想模型、包含實(shí)際電極參數(shù)的模型及數(shù)值仿真三者計(jì)算結(jié)果的比較，可較為明顯地看出考慮實(shí)際電極尺寸與位置參數(shù)與否的差別。
　　所比較流量計(jì)的參數(shù)為:r=100mm、L=500mm、△ϒA=△ϒB=5°、△ZA=△ZB=rx5°、ϒA=95°、ϒB=-85°、ZA=rx5°、ZB=--rx5°，且假設(shè)磁場(chǎng)B的方向與y軸.平行，即B,=B:=0，流速v的方向與=軸平行，即vx=vy=0，則可由W的x分量Wx代替W。利用理想點(diǎn)電極模型、新建立的干標(biāo)定模型及按實(shí)際電極參數(shù)所建立的數(shù)值仿真模型，分別對(duì)x、y與=軸上的權(quán)重函數(shù)數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。結(jié)果如圖3所示，圖中新、舊模型分別指新建立的包含電極尺寸與位置信息的干標(biāo)定模型、理想點(diǎn)電極模型，對(duì)其中圖3a所示的x軸上計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，可清晰地發(fā)現(xiàn)新模型較舊模型與數(shù)值計(jì)算結(jié)果更吻合，忽略實(shí)際電極尺寸與位置參數(shù)將帶來較大的誤差，尤其是在靠近電極的位置。計(jì)算結(jié)果還顯示，在所給出的參數(shù)下，y與:軸上的權(quán)重函數(shù)受參數(shù)影響較小，但隨著電極尺寸的加大及電極位置越來越偏離理想位置,y與:軸上的數(shù)值將呈現(xiàn)與x軸類似的現(xiàn)象，即舊模型的計(jì)算誤差越來越大，新模型則能很好地與數(shù)值計(jì)算吻合。
 
4結(jié)論
　　指出現(xiàn)有電磁流量計(jì)干標(biāo)定模型過于理想化，并不能完全滿足干標(biāo)定的技術(shù)要求，要解決干標(biāo)定.技術(shù)精度較低、對(duì)產(chǎn)品一致性要求較高的缺點(diǎn)，有必要建立更接近實(shí)際流量計(jì)，即包含更多實(shí)際流量.計(jì)信息的干標(biāo)定模型。就現(xiàn)有模型中將電極尺寸、位置作理想化處理，即假設(shè):電極尺寸無窮小、電極位于測(cè)量管段正中間的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)上且其連線與磁場(chǎng)垂直,致使模型與實(shí)際流量計(jì)存在差異的缺點(diǎn)，采用分離變量法建立了包含實(shí)際流量計(jì)電極尺寸及位置參數(shù)的電磁流量計(jì)干標(biāo)定模型，模型比現(xiàn)有模型更接近于實(shí)際流量計(jì)。對(duì)新建立的干標(biāo)定模型作了如下驗(yàn)證:①選用線形電極模型、點(diǎn)電極模型為比較對(duì)象，將這兩種典型理想模型的電極參數(shù)代入所新建立的干標(biāo)定模型進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果與這兩種典型理想模型一致;②分別采用理想點(diǎn)電極模型、新建立的干標(biāo)定模型及數(shù)值仿真，對(duì)參數(shù)為r=100mm、L=500mm、△ϒa=△ϒB=5°、△zA=△zB=ϒx5°、ϒA=95°、ϒB=-85°、ZA=ϒx5°、zB=ϒx5°的流量計(jì)權(quán)重函數(shù)數(shù)值進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果顯示新建立的干標(biāo)定模型與數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合，而忽略實(shí)際電極參數(shù)的理想點(diǎn)電極模型則存在較大的計(jì)算誤差。通過以上驗(yàn)證，證明了所建立模型的正確率，亦說明了建立此類更完善的電磁流量計(jì)干標(biāo)定模型的必要性。

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